La diferenciación numérica permite aproximar la derivada de una función cuando no se dispone de su expresión analítica o cuando los datos son discretos. A partir del Polinomio de Taylor, se obtienen fórmulas de diferencias finitas que aproximan derivadas usando valores cercanos de la función.

Desarrollo con el Polinomio de Taylor:

Expansión del Polinomio de Taylor alrededor de \(x\):

\[ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\cdots \]

\[ f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)-\cdots \]

De estas expresiones se obtienen:

Diferencia hacia adelante:

\[ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad (\mathcal{O}(h)) \]

Diferencia hacia atrás:

\[ f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \quad (\mathcal{O}(h)) \]

Diferencia centrada:

\[ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \quad (\mathcal{O}(h^2)) \]

Error de Aproximación:

El error depende del tamaño del paso \(h\). Métodos centrados suelen ser más precisos ya que tienen error de orden \(\mathcal{O}(h^2)\), mientras que los otros tienen error \(\mathcal{O}(h)\).

Ejercicios Resueltos:

Ejercicio 1. Aproximar \( f'(1) \) para \( f(x)=x^2 \) usando diferencia hacia adelante con \( h=0.1 \).

\( f(1)=1, \; f(1.1)=1.21 \)

\[ f'(1) \approx \frac{1.21-1}{0.1}=2.1 \]

Valor exacto: 2 → Error pequeño.

Ejercicio 2. Aproximar \( f'(0) \) para \( f(x)=\sin x \) usando diferencia centrada con \( h=0.1 \).

\( f(0.1)=0.09983, \; f(-0.1)=-0.09983 \)

\[ f'(0) \approx \frac{0.09983-(-0.09983)}{0.2}=0.9983 \]

Valor exacto: 1

Ejercicio 3. Aproximar \( f'(2) \) para \( f(x)=\ln x \) usando diferencia hacia atrás con \( h=0.1 \).

\( f(2)=0.6931, \; f(1.9)=0.6419 \)

\[ f'(2) \approx \frac{0.6931-0.6419}{0.1}=0.512 \]

Valor exacto: \(1/2=0.5\)